கணிதப் போட்டி - 1

பாஸ்கலுக்கு முன்னரே திருமங்கை ஆழ்வாரின் முக்கோணப் பாடல்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.

கணிதத்தில் பாஸ்கலின் முக்கோணம் (Pascal's triangle) என்பது ஈருறுப்புக் குணகங்களின் முக்கோண ஒழுங்கமைவாகும். இது பிரெஞ்சுக் கணிதவியலாளரான பிலைசு பாஸ்கலின் நினைவாகப் பெயரிடப்பட்டது. இந்தியா, பாரசீகம், சீனா, ஜேர்மனி மற்றும் இத்தாலி ஆகிய நாடுகளின் கணிதவியலாளர்களால் இது இவருக்கு முன்பே கண்டுபிடிக்கப்பட்டிருந்தும் மேற்குலகில் இது பாஸ்கலின் முக்கோணம் என்றே அறியப்பட்டது.

நமது இலக்கியத்தில் இதற்கான ஆதாரம். திருமங்கை ஆழ்வார் அருளிய திருவெழுகூற்றிருக்கையில் காணப் படுகிறது.

ஒருபே ருந்தி யிருமலர்த் தவிசில்,
ஒருமுறை அயனை யீன்றனை, ஒருமுறை
இருசுடர் மீதினி லியங்கா, மும்மதிள்
இலங்கை யிருகால் வளைய, ஒருசிலை
ஒன்றிய ஈரெயிற் றழல்வாய் வாளியில்
அட்டனை, மூவடி நானிலம் வேண்டி,
முப்புரி _லொடு மானுரி யிலங்கும்.
மார்வினில், இருபிறப் பொருமா ணாகி,
ஒருமுறை யீரடி,மூவுல களந்தானை,
நாற்றிசை நடுங்க அஞ்சிறைப் பறவை
ஏறி, நால்வாய் மும்மதத் திருசெவி
ஒருதனி வேழத் தரந்தையை,

விளக்கம்

1 ஒருபே ருந்து

2 இருமலர்த் தவிசில்,

1 ஒருமுறை அயனை ஈன்றனை,

1 ஒருமுறை

2 இருசுடர் மீதினில் இயங்கா

3 மும்மதிள் இலங்கை  

2 இருகால் வளைய, 

1 ஒருசிலை 

1 ஒன்றிய

2 ஈரெயிற்று அழல்வாய் வாளியில் அட்டனை 

3 மூவடி 

4 நானிலம் வேண்டி,

3 முப்புரிலொடு மானுரி யிலங்கும் மார்வினில்,

2 இருபிறப்பு 

1 ஒருமாணாகி,   

1 ஒருமுறை 

2 ஈரடி,

3 மூவுலகு அளந்தானை,
4 நாற்றிசை நடுங்க 

5 அஞ்சிறைப் பறவை ஏறி, 

4 நால்வாய் 

3 மும்மதத்து 

2 இருசெவி

1 ஒருதனி வேழத் தரந்தையை,

இந்தப் பாடலின் பொருள் விளக்கத்தை எனது எளிய தமிழில் இலக்கியம் வலைப் பூவில் எழுதுவேன்.

 

கணிதம் கற்பித்தலில் கடைப்பிடிக்க வேண்டிய அணுகுமுறை – 1

 ஆசிரியர்: “மணி, உனக்கு நான் ஒரு ஆப்பிளும், மற்றும் ஒரு ஆப்பிளும், மீண்டும் ஒரு ஆப்பிளும் கொடுத்தால், உன்னிடம் எவ்வளவு ஆப்பிள் இருக்கும்?”

மணி சில விநாடிகள் கழிந்ததும் தெளிவான குரலில், “நான்கு ஐயா”.

ஏமாற்றமடைந்த ஆசிரியர் எதிர்பார்த்தது எளிதான, சிரமம் இல்லாத விடை (மூன்று).

ஒருவேளை மணி சரியாக கவனித்து கேட்கவில்லை போலும் என நினைத்தார் ஆசிரியர்.

மீண்டும், “மணி, சரியாக கவனித்துப் பொறுமையாகச் சொல். மிகவும் எளிது. உன்னிப்பாகக் கவனித்தால் சரியாகச் சொல்ல முடியும். உனக்கு நான் ஒரு ஆப்பிளும், மற்றும் ஒரு ஆப்பிளும், மீண்டும் ஒரு ஆப்பிளும் கொடுத்தால், உன்னிடம் எவ்வளவு ஆப்பிள் இருக்கும்?”

ஆசிரியரின் முகத்தில் இருந்த ஏமாற்றத்தை மணி கவனித்தான். தன் விரல்களால் மீண்டும் கூட்டிப் பார்த்தான். அவனுக்குள் ஏதோ ஒன்று எப்படியாவது தன் ஆசிரியரை மகிழ்விக்கக் கூடிய விடையைக் கூற வேண்டும் என்ற தவிப்பு இருந்தது.

இப்போது, தயங்கியவாறே, “நான்கு…” எனக் கூறினான். ஆசிரியரின் முகத்தில் இருந்த ஏமாற்றம் மறையாது தேங்கியிருந்தது. ஆசிரியருக்கு உடனே, மணிக்கு மாம்பழம் பிடிக்கும் என்கிற விசயம் நினைவிற்கு வந்தது. ஒரு வேளை ஆப்பிளைப் பிடிக்காததால்தான் அவனுக்கு கவனம் தவறுகிறது என நினைத்தார் ஆசிரியர்.

இப்போது மிகுந்த உற்சாகத்துடன், கண்களில் மகிழ்ச்சி பொங்க, “உனக்கு நான் ஒரு மாம்பழமும், மற்றும் ஒரு மாம்பழமும், மீண்டும் ஒரு மாம்பழமும் கொடுத்தால், மணியிடம் எவ்வளவு மாம்பழங்கள் இருக்கும்?”

ஆசிரியரின் உற்சாகத்தைக் கவனித்த மணி தன் பிஞ்சு விரல்களால் மீண்டும் கூட்டிப் பார்த்தான். அவனிடம் எந்தவித பதட்டமும் இல்லை. ஆசிரியருக்கோ சிறிது பதட்டம் கூடியது. தனது புதிய அணுகுமுறை வெற்றியடைய வேண்டும் என விரும்பினார்.

புன்முறுவலோடு மணி, “மூன்றுதானே ஐயா?” என்றான்.

ஆசிரியரிடம் இப்போது வெற்றிப் புன்னகை முகத்தில் தாண்டவமாடியது. கணிதம் கற்பித்தலில் அவரது அணுகுமுறைக்கு வெற்றி. தன்னையே உள்ளூர பாராட்டிக் கொண்டார். ஆனால் இன்னும் கடைசியாக ஒரு விசயம் தொக்கி நின்றது.

மீண்டும், மணியிடம்,”சரி. இப்போது உனக்கு நான் ஒரு ஆப்பிளும், மற்றும் ஒரு ஆப்பிளும், மீண்டும் ஒரு ஆப்பிளும் கொடுத்தால், உன்னிடம் எவ்வளவு ஆப்பிள் இருக்கும்?”

”நான்குதான் ஐயா” என உரத்துக் கூறினான்.

அவனிடம் தடுமாற்றம் இல்லை. ஆசிரியரோ தடுமாறினார்.

“எப்படி மணி, எப்படி” என்று கதிகலங்கிய குரலில் மீண்டும் மீண்டும் கேட்டார்.

சிறிது சுருதி கலைந்து, தொனி குறைந்து மெதுவாக, மணி, “ஆனால் என்னுடைய பையில் எங்கம்மா ஏற்கனவே ஒரு ஆப்பிளை வைத்திருந்தார்கள் மிஸ்! “ என்றான்.

இந்தக் கதையிலிருந்து நாம் புரிந்து கொள்ள வேண்டிய பாடங்கள்:

ஒரு மாணவர் நாம் எதிர்பார்க்கும் விடையிலிருந்து மாறுபட்டு வேறு விடை அளித்தால், அந்த மாணவரிடம்தான் தவறு இருக்கிறது என்பதில்லை.

நம் கேள்வியிலும் தவறு இல்லை. மாணவர் கணக்கை அணுகிய முறையிலும் தவறு இல்லை.

அந்த மாணவன் அந்த கேள்விக்கான விடையை எவ்வாறு அணுகினான் என்பதை அவனே விவரிக்க வாய்ப்பு அளிப்பதே சிறந்தது.

கணிதத்தைக் கற்பிப்பது எப்படி?

வெகு காலமாக என் மனதில் உறுத்திக் கொண்டிருக்கும் விசயம் ஒன்றைப் பற்றி எழுதப் போகிறேன். அதைச் சொல்லுமுன் சில கேள்விகள்.
1. பத்தாம் வகுப்பிலும், பனிரெண்டாம் வகுப்பிலும் கணக்கில் நூற்றுக்கு நூறு வாங்கும் மாணவர்கள் ஏன் தொடர்ந்து கல்லூரிகளிலும் நூற்றுக்கு நூறு வாங்க முடிவதில்லை?
2. பத்தாம் வகுப்பில் ஆயிரம் பேருக்கு மேல் கணிதத்தில் நூற்றுக்கு நூறு வாங்குகிறார்கள். அதில் எத்தனை பேர் கணிதத்தில் ஆராய்ச்சி செய்ய வேண்டும் என்கிற ஆர்வத்தோடு ஈடுபடுகிறார்கள்?
3. பள்ளிகள் அளவிலான கணித ஒலிம்பியாட் வெளிநாடுகளில் பிரபலமாக இருப்பது போல் ஏன் தமிழ் நாட்டில் இல்லை? (கேரளாவில் ஒரு நிறுவனம் முனைப்பாக எடுத்து செய்கிறது)
4. கணிதம் செய்து பார்க்க மாணவர்களைத் தூண்டுவது எப்படி? கணிதப் புதிர்களின் குணத்தைக் கண்டு மலைக்காமல் அதன் அழகைக் கண்டு வியக்க வைக்க என்ன செய்ய வேண்டும்?

நான் அறிந்தவரை, கணித ஆர்வலர்கள் சில கணக்கு புதிர் புத்தகங்களை வெளியிடுவதுடன் நின்று கொள்கின்றனர். அல்லது சில சுருக்கு வழிகளை மட்டும் போதிக்கின்றனர். அதில் முறையான திட்டம் இருப்பதாக தெரியவில்லை. எனக்கு அபாகஸ், வேத கணிதம் எனும் முறைகளைப் பற்றி ஐயம் உள்ளது. இவை கணிதம் என்றால் எண்கள் சம்பந்தபட்டது என்கிற அளவில் வாய்பாட்டு அளவில் பயிற்சி தருகின்றன. சிலர் கஷ்டபட்டு வேத கணிதத்தை அல்ஜீப்ராவில் பயன்படுத்தலாம் என்று சொல்லி குழம்பி கொண்டிருக்கின்றனர்.

இனி என் மனதில் உள்ள விசயம் இதுதான்.
வரும் வருடம் சமச்சீர் கல்வி அமலாகும் நிலையில் கணிதத்தை முறையாக வகுப்பு வாரியாக முழுமையாக மாணவர்கள் கணிதத்தை விரும்பும் நிலையில் மேலும் புதிய கண்டுபிடிப்புகளை செய்யும் அளவு அறிவு தரும் வகையில் ஒரு முறையை உருவாக்கி கற்பித்தல் வேண்டும்.
இந்த கணித கற்பித்தல் முறைக்கு உங்களின் மேலான ஆலோசனைகள், உதவிகள் வரவேற்கப்படுகின்றன.
கணித கற்பித்தல் முறையில் விளையாட்டுகள், புதிர்கள் என்கிற வழக்கமான வழியில் இல்லாமல், மாணவனே முயன்று தீர்வு காணும் உணர்வைத் தூண்டும் வகையில் இருக்க வேண்டும்.
உதாரணமாக என் கல்லூரி ஆசிரியர் திரு.பால சுந்தரம் ஒரு மாணவன் காலையில் சாப்பிட்ட இட்லியிலிருந்து அன்று நடத்த வேண்டிய தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை அந்த மாணவனின் வாயிலிருந்தே கேள்விகள் கேட்டு வரவழைப்பார்.

சில எண் அடுக்கு விந்தைகள்

கணித மேதை சீனிவாச ராமானுஜத்தின் பிறந்த நாள்

டிசம்பர் 22ந்தேதி கணித மேதை சீனிவாச இராமானுஜத்தின் பிறந்த நாள். என்னுள் இருக்கும் ஆதங்கமே  நூறு ஆண்டுகளாகியும் நாம் செய்ய தவறியவை என்ன என்பதை கீழே பட்டியலிட்டு உள்ளேன்.

1) கணித மேதை ராமானுஜத்திற்கு ஹார்டி கிடைத்தார். வருங்கால கணித மேதைகளை கண்டுபிடிக்க, அடையாளம் கண்டு ஊக்குவிக்க நாம் என்ன செய்திருக்கிறோம்? (பிறந்த நாள் அன்று மட்டும் விழா எடுத்து பேருக்கு புதிர் போட்டிகள் நடத்தி கிழித்ததை தவிர)

2) ஆராய்ச்சியில் ஈடுபடுவோர் மிகச் சிலரே. அவர்களை மட்டும் ஊக்குவிக்க இராமானுஜம் நினைவு ஆய்வு பரிசு தருவது சரியா?

3) கணித ஆர்வம் குறைந்தவர்களை, கணித திறன் குன்றியவர்களை கணிதத்தில் திறன் வளர்க்கும் பயிலரங்கங்கள் அதிகம் வேண்டும். அதை செய்தோமா?

4) கணிதத்திற்கு என்று இந்தியாவில், அல்லது தமிழ் நாட்டிலாவது நோபல் பரிசு போன்ற ஒரு பெரும் தொகையை ஒதுக்கி, அனைத்து அரசு பள்ளிகளிலும் கணித ஆய்வகங்கள் ஏற்படுத்த படவேண்டும். கல்லூரிகளில் அனைத்து பாடப் பிரிவுகளிலும் கணித ஆய்வு கருத்தரங்கள், பயிலரங்கங்கள், திறனாய்வுகள் நடத்தப் பட வேண்டும்.

5) ஏழை கணித ஆர்வமுள்ள குழந்தைகளுக்கு கல்வி மட்டுமல்ல, நல்ல கணித கண்டுபிடிப்புகளை உருவாக்க அனைத்து கணித ஆசிரியர்களும், பேராசிரியர்களும் முன்வர வேண்டும். (தற்போது ஒவ்வொரு கணித ஆசிரியரும் டியூஷன் எடுத்து சம்பாதிப்பதே குறிக்கோளாய் இருப்பது தடுக்கப்பட்டு, அறிவியல், கணிதம், ஆங்கில மொழி பயிற்சி இலவசமாக ஆக்கப்பட்டு அதற்கென யாரும் பணம் பெற்றால் தண்டிக்கப் பட வேண்டும்.

மேலும் அடுத்த இடுகையில்...